Les conférences

Conférence 1

PERRIN Daniel - Professeur Honoraire en Mathématiques à l’Université Paris Saclay : 

Arithmétique au collège et au lycée autour de la cryptographie et des nombres premiers

Résumé : Je commencerai par évoquer l'importance des nombres premiers pour la cryptographie et notamment pour le code RSA. À partir de ces questions je proposerai quelques thèmes d'exercices, autour des deux problématiques de la primalité et de la factorisation, pouvant être abordés dès le collège.

Conférence 2

BATTIE Véronique - Maitre de Conférence en Didactique des Mathématiques à l’Université de Lyon :

Quels apports didactiques de l'arithmétique pour le raisonnement mathématique ?

 Résumé : Dans les programmes scolaires actuels, des pistes sont nouvellement mentionnées quant au raisonnement (e.g. envisager différentes preuves d’un même résultat, prouver sur un exemple générique) et nous proposons de les explorer dans le domaine de l’arithmétique à la lumière de travaux en didactique des mathématiques. Plus largement, nous tâcherons dans cette conférence d’apporter des éléments de réponse à la question des potentialités de l’arithmétique pour l’enseignement et l’apprentissage du raisonnement dans le Secondaire et à l’entrée à l’Université.

Conférence 3

CORI René - Maitre de Conférence en Mathématiques à l’Université Paris Diderot  :

Arithmétique et logique

Résumé : La logique, c’est l’étude du langage et du raisonnement, c’est-à-dire des ingrédients de base de toute activité mathématique. Elle est donc omniprésente dans tous les chapitres des cours que nous proposons à nos élèves. Nous allons en suivre la trace en arithmétique où, comme ailleurs, elle est parfois bien visible mais le plus souvent soigneusement cachée. Nous pourrons le constater en feuilletant quelques manuels scolaires. Le raisonnement par récurrence, que nous analyserons en détail, est une illustration emblématique de cet état de fait, mais c’est loin d’être la seule. Côté langage, nous verrons pourquoi le théorème de Bézout a de quoi décontenancer pas mal de monde. Nous évoquerons aussi l’analyse combinatoire, dont l’approche ensembliste, pourtant très élégante et très efficace, a depuis longtemps disparu de nos classes. Mais la logique est avant tout présente dans les fondements de l’arithmétique, et donc dans ceux de l’essentiel des mathématiques de l’enseignement secondaire. C’est un sujet dont les élèves n’entendent pratiquement jamais parler, mais un exposé sur les liens entre arithmétique et logique ne pouvait pas faire l’impasse sur les axiomes de Peano. Si la logique est présente en arithmétique, l’arithmétique est incontournable en logique. Par exemple, pour les codages des formules logiques ou la théorie des fonctions calculables, les nombres entiers ont joué un rôle essentiel dans les fameux théorèmes d’incomplétude et d’indécidabilité que Gödel et Turing (pour ne citer qu’eux) ont démontré dans les années 1930. Mais il ne sera possible ici que d’évoquer très brièvement ce sujet. Enfin, si le temps le permet, nous présenterons un résultat très troublant qui mêle inextricablement arithmétique et logique : le théorème de Goodstein.

Conférence 4

MULLER Jean-Michel -Directeur de recherches au CNRS, en poste au Laboratoire LIP :

Algorithme et arithmétique

Résumé : Je montrerai à travers quelques exemples ludiques, dont certains faciles à reproduire en classe, que l'arithmétique des ordinateurs (et des calculatrices) se comporte parfois de manière très différente de l'arithmétique réelle. Une approche "naïve" du calcul peut donc être source de dysfonctionnements (voire dans des cas heureusement rarissimes de catastrophes). Je montrerai ensuite que l'arithmétique des ordinateurs est toutefois complètement spécifiée, et que son comportement est donc parfaitement prévisible: il s'agit d'une structure mathématique sur laquelle on peut faire des raisonnements utiles (dont certains, hélas rares, accessibles à un élève de terminale).

Conférence 5 

MOYON Marc - Maitre de Conférence HDR en Histoire des Mathématiques à l’Université de Limoges : 

Nombres, opérations et problèmes récréatifs : histoire parfaite et figurée pour enseigner l'arithmétique en cycle 3

Résumé : Ma conférence, de nature historique, a pour objectif de montrer comment puiser, dans l’histoire et l’épistémologie des mathématiques, des textes et des artefacts pour travailler l’arithmétique dès la fin de l’école primaire. L’histoire des mathématiques, quelle que soit l’époque, quelle que soit la culture, peut nourrir les enseignant·e·s et offre en particulier des ressources pédagogiques à tous les niveaux de l’enseignement des mathématiques, comme le montrent les nombreux travaux des IREM et ceux du groupe international HPM (history and pedagogy of mathematics).

Même si les sources historiques peuvent paraître difficiles pour un élève de cycle 3, elles renferment de nombreuses occasions pour travailler le concept de nombres et les opérations élémentaires. Je tenterai de le démontrer. La résolution de problèmes, notamment récréatifs, est propice à la mise en œuvre des connaissances et compétences arithmétiques. Je donnerai plusieurs exemples en lien avec les instructions officielles, en envisageant de possibles transferts en classe.